Química

Introducción al cálculo vectorial


Álgebra vectorial

Dos operadores aritméticos son de fundamental importancia para los vectores: la multiplicación con escalares (números) y la suma entre sí. Esto también plantea la cuestión de qué cantidad asume el vector resultante. Este capítulo presenta las reglas básicas.

¿Cómo se multiplica un vector por un número? Dado que cada vector tiene una cierta longitud, la siguiente definición es obvia:

Multiplicación escalar de un vector
Un vector v se convierte en un número α multiplicado por su longitud por el valor absoluto de α multiplicado y en el caso α0 mantiene su dirección, en el otoño α<0 invierte su dirección. El vector resultante se convierte en αv o corto αv escrito.

La "inversión de dirección" significa exactamente lo que uno esperaría intuitivamente: hablando en sentido figurado, la punta del vector se "desmantela" y se "une" al extremo opuesto (si lo desea, puede mover el vector lo más lejos posible en su dirección después que su punto de partida está nuevamente en su ubicación original). La combinación anterior de un escalar con un vector se llama multiplicación con escalares o, para abreviar, multiplicación escalar.

Para llegar a la suma de vectores, consideremos el ejemplo de los excursionistas de cabañas.Supongamos que un excursionista se rompe desde el poste indicador hasta una cabaña A y desde allí continúa hasta la cabaña B. Un segundo excursionista se mueve directamente desde el poste indicador a la cabaña B.

Simbolizamos el poste indicador de la cabaña A con el vector v01 y los de la cabaña A a la cabaña B a través del vector v12. En consecuencia, existe un vector para la ruta directa al refugio B. v02. Ambos excursionistas comienzan en la primera señal y finalmente llegan a la cabaña de Ban. En cuanto al resultado, ambos han logrado lo mismo: golpearon a Bein en la cabaña. Podemos ponerlo en palabras como esta: vector v01 y v12 es igual a v02. Matemáticamente, expresamos que a través de la ecuación

v01+v12=v02

el fin. Esto da la definición general de la suma de dos vectores cualesquiera v1 y v2:

Suma de vectores
Dos vectores v1 y v2 se añaden tomando el punto de partida de v2 en la cima de v1 y el vector desde el punto de partida de v1 hasta el punto final de v2 formas. El último vector se llama suma de v1 y v2 y lo haré con v1+v2 designado.

Reducimos la resta de vectores a la suma y multiplicación escalar con:

Resta de vectores
El vector v2 es del vector v1 restando con -1 multiplicado y a v1 sumado, entonces v1+(-1v2) formas. Este vector se llama diferencia de v1 y v2 y lo haré con v1-v2 designado.

Vamos a restar v1 de sí mismo, por lo que formamos v1-v1, obtenemos el llamado vector cero, denotado por0. Éste tiene algunas peculiaridades. Primero que nada es su longitud =0. ¿Y su dirección? La dirección de un vector es desde su punto inicial hasta su punto final. En el caso del vector cero, los puntos inicial y final son idénticos, puede establecer cualquier dirección a través de dos puntos idénticos; lo ha visto 0 cualquier dirección. Esta es la forma de ver las cosas (es cierto que es un poco arbitrario, como cualquier definición, por cierto, pero ha resultado ser sensato).

Vector cero
El vector cero 0 tiene la longitud 0 y en cualquier dirección. Se caracteriza claramente por estas propiedades.

Además del vector cero, hay un segundo término que debemos recordar; cuando definimos la resta, teníamos el vector -1v1 educado. Esto es lo suficientemente importante como para darle su propio nombre y símbolo:

Vector negativo
Para cada vector v llamado -1v el a v vector negativo. El estara con -v designado.

Reglas para la suma y multiplicación de vectores por un escalar

Varias reglas aritméticas importantes se aplican a estas dos operaciones aritméticas básicas, que se derivan de las consideraciones dadas anteriormente. La resta no se indica explícitamente porque se puede rastrear hasta la suma y la multiplicación con el escalar -1 (ver reglas 4 y 5).

Tab.1
Suma y multiplicación de vectores con escalares: tu, v, w Vectores, α, β, γ Escalares; 0= Vector cero
1tu+v=v+tu
2(tu+v)+w=tu+(v+w)
3tu+0=tu
4tu+(-tu)=0
5α(βtu)=(αβ)tu
61tu=tu
7λ(tu+v)=λtu+λv
8(α+β)tu=αtu+βtu

La primera regla representa la ley conmutativa y la segunda la ley de asociatividad de la suma vectorial. La regla 5 es la ley de asociatividad para el escalar de multiplicación mixta. × Escalar × Vector. Las reglas 7 y 8 son leyes distributivas diferentes para combinaciones de suma de vectores y multiplicación escalar. La mejor manera de entender las reglas es gráficamente a través de bocetos como el siguiente:

Izquierda: conmutatividad de la suma, derecha: distributividad de la suma (derecha animada)

La suma de cualquier número de vectores v1,v2,,vnorte se define análogamente a la de dos: el punto de partida de v2 está en el punto final de v1 entonces el punto de partida de v3 en el punto final de v2 etc. (ver imagen). Como resultado de la suma, el vector se vuelve desde el punto de partida de v1 hasta el punto final de vnorte tomado. Este vector se llama suma de v1,,vnorte.

Reglas para formar la cantidad de un vector.

Las siguientes reglas de cálculo se aplican a la cantidad vectorial.

Tab.2
Cantidad de vectores de reglas de cálculo: tu y v son vectores arbitrarios, C cualquier escalar
1|v|0
2|v|v=0
3|Cv|=|C||v|
4|tu+v||tu|+|v|

También en casos límite |tu+v|=|tu|+|v| ser. Está presente cuando tu y v tienen la misma dirección.

Nota
Por cierto, las reglas de cálculo de la Tabla 1 no solo tienen un significado práctico como ayuda para tratar con vectores, sino también teórico. El concepto de vector se ha generalizado ampliamente en matemáticas. Se acordó que lo esencial de los vectores son sus reglas de cálculo, por lo que los vectores son cualquier objeto para el que se definen una suma entre sí y una multiplicación por escalares de acuerdo con las reglas de la Tabla 1. Esto se refiere, por ejemplo, a los números complejos (vectores en el plano de los números complejos) y las llamadas funciones de onda en química cuántica.


Video: 1 Introducción al Cálculo Vectorial (Enero 2022).